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第五讲 数学的思想方法

〇、开场白

上一讲我们讲到了：数学教学应该渗透数学思想方法。那么中学数学常见的思想方法有哪些呢？我们这一讲就解决这个问题。在之前的教学中，我们已经讨论过一些数学思想了，例如公理化思想、符号化思想，本讲将不再赘言这些。另外，数学的思想和方法应该略有区别，我们这里不探究它们的具体区别，而是笼统地称之为思想方法。本讲我们讲授如下几个数学思想方法：

• 方程与函数的思想
• 分类讨论的思想
• 数形结合思想
• 化归思想
• 特殊化和一般化的思想

数学的思想方法有很多，我们这一讲无法做到面面俱到。进一步学习数学思想方法及其在解题中的应用，可以阅读如下参考书籍：

• 《数学方法论》，叶立军，科技出版社
• 《中学数学解题研究》，马波，北京师范大学出版社

下面我们逐个探讨这五类数学思想。

一、方程与函数的思想

1.1 方程思想

方程思想的核心在于：运用数学的符号化语言，将问题中的已知量和未知量（或参变量）之间的数量关系抽象为方程、方程组、不等式、不等式组等模型，然后通过对这些模型的变形求出未知量的值。

掌握方程思想分为三步：

• 学会代数设想。也就是说，假定未知量存在，然后用字母表示出来，将之与已知量等同看待。
• 学会代数翻译。分析题目中已知量与未知量之间的关系（可能是相等关系或某种不等关系），然后将这种关系用数学语言符号化地表达出来，从而得到方程（组）或不等式（组）。
• 掌握解方程的方法。不仅要掌握解方程的方法，也要掌握解对应不等式的方法。

例题1.1

例题：求$\sin 20^\circ\cos 70^\circ+\sin 10^\circ\sin 50^\circ$。

分析：既然要计算$\sin 20^\circ\cos 70^\circ+\sin 10^\circ\sin 50^\circ$，那么我们不如就令

$$x=\sin 20^\circ\cos 70^\circ+\sin 10^\circ\sin 50^\circ$$

下面的问题就是如何寻找未知量与已知量之间的关系。形式上看，这个问题很可能要使用两角和的正弦或余弦公式来计算。但是，仔细看会发现前后两项并不满足同一个公式。与$\sin 20^\circ\cos 70^\circ$相搭配的应该是$\cos 20^\circ\sin 70^\circ$；与$\sin 10^\circ\sin 50^\circ$相搭配的应该是$\cos 10^\circ\cos 50^\circ$。那么既然缺这两项，我们就把它们补上，从而建立起等式关系。令

$$y=\cos 20^\circ\sin 70^\circ+\cos 10^\circ\cos 50^\circ$$

于是，

$$\begin{aligned} x+y&=1+\cos 40^\circ\\ x-y&=-\frac{1}{2}-\cos 40^\circ \end{aligned}$$

这样就得到了关于$x$和$y$的方程组，解得$x=\frac{1}{4}$。

例题1.2

例题：已知抛物线$y=ax^2+4x+a+3$的最高点的纵坐标为0，求$a$的值。

分析：直接的想法是求函数最大值，令其为零，解出$a$。但是仔细想想会发现，二次函数最高点的纵坐标为$0$，说明其判别式为零，所以$16-4a(a+3)=0$，解得：$a=1$或$a=-4$。

1.2 函数思想

函数思想的核心在于：挖掘问题中的隐含条件，用以构造函数解析式，然后利用函数的性质解决问题。这里所说的“函数的性质”，在中学数学中，比较常见的是：单调性、奇偶性、周期性、连续性、可导性、最值性。而中学阶段所需掌握的常用函数有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

例题1.3

例题：设$a,b,c$为$\triangle ABC$的三条边长，求证：$\frac{a}{2+a}+\frac{b}{2+b}>\frac{c}{2+c}$。

分析：所求证不等式中的三项形式完全一致，这不由得不使人想到设计函数$f(x)=\frac{x}{2+x}$。另一方面，设$a,b,c$为$\triangle ABC$的三条边长，而所求证又是关于$a,b,c$的不等式，这很容易使人想到$a+b>c$。于是，思路就很清晰了：因为函数$f(x)=\frac{x}{2+x}$是严格增函数，而且$a+b>c$，所以$f(a+b)>f(c)$，所以

$$\frac{c}{2+c}<\frac{a+b}{2+a+b}=\frac{a}{2+a+b}+\frac{b}{2+a+b}<\frac{a}{2+a}+\frac{b}{2+b}.$$

二、分类讨论的思想

关于分类讨论的思想，我们首先要搞清的是：什么问题需要分类？

分类的原因，一般有如下几条：

• 问题所涉及的数学概念是通过分类进行定义的，例如绝对值
• 问题中所涉及的数学理论是分类给出的，或有条件限制，例如等比数列的前$n$项和公式
• 问题涉及按取值情况讨论的参数，例如解$ax>1$需要讨论$a$的情况

分类有三个要素，那就是

• 母项、子项和分类标准

其中，母项是被分类的种概念；子项是划分后所得到的的类概念；分类标准，就是分类的依据。例如：三角形按照内角的情况可以分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。其中“三角形”是母项；“锐角三角形”、“直角三角形”和“钝角三角形”是子项，“按内角的情况”是分类标准。

在进行分类讨论时，任何一种分类都要遵循如下分类原则：

• 同一性原则，即分类按同一标准；
• 合理性原则，即分类应该既不重复也不遗漏。

例题2.1

例题：讨论方程$(k^2+k-2) x^2+k^2 y^2=9$的曲线。

分析：当$x^2$和$y^2$的系数取值的正负不同时，曲线显然也会不同。令$x^2$和$y^2$的系数分别取$0$，会解出$-2$，$0$，$1$三个关键点，它们将数轴分成四个区间，因此，我们应该按$k$的这七种取值分情况讨论。

• 当$k<-2$时，$k^2+k-2>0$，$k^2>0$且$k^2+k-2<k^2$，所以，该曲线为焦点在$x$轴上的椭圆；

• 当$k=-2$时，方程退化为$y=±3/2$，这是平行于$x$轴的两条直线；

• 当$-2<k<0$时，$k^2+k-2<0$，$k^2>0$，所以，该曲线为焦点在$y$轴上的双曲线；

• 当$k=0$时，不存在实图形；

• 当$0<k<1$时，$k^2+k-2<0$，$k^2>0$，所以，该曲线为焦点在$y$轴上的双曲线；

• 当$k=1$时，方程退化为$y=±3$，这是平行于$x$轴的两条直线；

• 当$k>1$时，$k^2+k-2>0$，$k^2>0$，所以，该曲线为椭圆；

  • 特别地，当$1<k<2$时，为焦点在$x$轴上的椭圆；
  • 当$k=2$时，为圆；
  • 当$k>2$时，为焦点在$y$轴上的椭圆。

例题2.2

例题：求证：大于$5$的素数的平方与$1$之差总是$24$的倍数。

分析：将大于$5$的自然数按除以$6$的余数分类：$6n$，$6n+1$，$6n+2$，$6n+3$，$6n+4$，$6n+5$。其中只有$6n+1$和$6n+5$可能是素数。于是我们可以分类讨论：

• 如果该素数是$6n+1$，那么$(6n+1)^2-1=12n(3n+1)$，显然可以被$24$整除；
• 如果该素数是$6n+5$，那么$(6n+5)^2-1=12[n(3n+5)+2]$，显然可以被$24$整除。

三、数形结合思想

数形结合的思想是中学数学里非常强调的一种数学思想。细究起来，数形结合其实有两种情况，即：

• 以形助数，也就是以几何方法解释和解决代数问题；
• 以数辅形，也就是以代数方法解释和解决几何问题。

而数形结合思想在中学数学中的应用，往往出现在以下场景中：

• 实数与数轴上的点的对应关系
• 函数与图像的对应关系
• 方程与曲线的对应关系
• 以几何为背景建立起的代数概念
• 代数式中有明显的几何含义

例题3.1

例题：等差数列的求和与毕达哥拉斯的形数

分析：古希腊数学家毕达哥拉斯设计了一种叫“形数”的方法用来求等差数列的前$n$项和（详见上图以及课件）。这种方法也可以用于导入。很多教师在讲授等差数列的求和公式的时候，会使用高斯的故事来作为导入，但是高斯的方法有两个问题：1.不适用于奇数项求和，2.与错位相减法的关系不直接，而错位相减法正是推导出等差数列求和公式的方法。毕达哥拉斯的三角形数完美解决了这两个问题。

例题3.2

例题：设$f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|$，求$f(x)$的最小值

分析：首先我们对于一些简单情况做分析：

• 一个绝对值的最小值，例如$|x-3|_{min}$，由绝对值的几何意义很容易知道，当$x=3$时取得最小值。
• 两个绝对值之和的最小值，例如$(|x-2|+|x-4|)_{min}$，同样的方法，很容易发现，当$x\in[2,4]$时取得最小值。

而题目中的$f(x)$有五项求和，我们可以将这五项重新组合，然后利用上述结论求解最小值。具体说来

• 因为$f(x)=(|x-1|+|x-5|)+(|x-2|+|x-4|)+|x-3|$

• 注意：

  • 当$x\in[1,5]$时，$(|x-1|+|x-5|)$取得最小值；
  • 当$x\in[2,4]$时，$(|x-2|+|x-4|)$取得最小值；
  • 当$x=3$时，$|x-3|$取得最小值。

• 可见，当$x=3$时，$(|x-1|+|x-5|)$、$(|x-2|+|x-4|)$和$|x-3|$同时取得最小值
• 这将导致$f(x)=(|x-1|+|x-5|)+(|x-2|+|x-4|)+|x-3|$取得最小值
• 因此，当$x=3$时，$f(x)$取得最小值，$f(x)_{min}=f(3)=4+2=6$

四、化归思想

数学问题本身是已知与未知之间的矛盾，而数学问题的求解过程往往是矛盾转化的过程，这就是化归的思想。说得更直接一些，化归思想的本质在于：当一个数学问题难以求解时，使用适当的方法将其转变为另一个数学问题，使之更易求解。

当我们在使用化归思想解决数学问题的时候，我们应该遵循一些基本的化归原则，即

• 陌生→熟悉

• 复杂→简单

• 抽象→直观

• 非标准→标准

例题4.1

例题：在正方形$ABCD$中，$E,F$分别是$CD,AD$中点，$P$是$BE$和$CF$的交点，连接$AP$。求证：$AP=AB$

分析：这个问题所使用的化归，是典型的从陌生向熟悉转化。

要证明$AP=AB$，只需证明$\angle ABP=\angle APB$。我们所有已知的条件都在正方形的边界上，所以我们需要将这两个角转移到边界上以方便使用已知条件。

首先考虑$\angle ABP$，我们要考虑这个角等于谁，还要考虑如何靠近已知条件。我们已知$E$是$CD$中点，那么如何将$\angle ABP$转移到$E$的附件呢？由于$AB\parallel CD$，所以$\angle ABP=\angle BEC$。

下一步我们要考虑$\angle BEC$等于谁，还要考虑向哪个已知条件靠近。我们已知$E,F$分别是$CD$和$AB$中点，在正方形中，这是我们所熟悉的条件，我们很容易得知，$\triangle ACE\cong \triangle CDF$，所以$\angle BEC=\angle CFD$。

接下来的问题是$\angle CFD$等于谁？我们注意到$F$是$AD$中点，而$CF$被连接起来了，我们很自然地会想到$BF$也应该被连接起来，一旦连接起来，由对称性很容易发现：$\angle CFD=\angle BFA$。

回头想一下，我们的目标是证明$\angle ABP=\angle APB$，而现在我们一口气把$\angle ABP$转化为了$\angle BFA$。可见只要证明了$\angle BPA=\angle BFA$，我们最终解决了问题。那么这两个角能相等吗？这两个角看起来很像是同一个弧所对的圆周角，换句话说如果能证明$A,B,P,F$四点共圆，那么就有$\angle BPA=\angle BFA$。

现在问题又变成了证明$A,B,P,F$四点共圆。我们注意$\angle BAF$是直角，那么只要证明$\angle BPF$是直角，那么就能得到四点共圆了。最终，我们把这个问题化归成了：求证$\angle BPF$是直角，这是一个相当简单的问题！

例题4.2

例题：在正方体$ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$中，$E,F,G$分别为$AD,BC,B_1 B$的中点，求$D_1 G$与面$A_1 B_1 FE$夹角的正切值。

分析：如果能将线段$D_1G$与平面$A_1B_1FE$的夹角转变为同一平面上两条直线的夹角，那么问题就从三维层面降低到二维层面，从而实现了由复杂到简单的转化。为此，取$AA_1$中点$H$，连接$HG$和$HD_1$，记$HD_1$与$A_1E$交于$M$，$D_1G$与平面$A_1B_1FE$交于$N$，连接$MN$。

容易证明，$HD_1\bot EF$而且$HD_1\bot A_1E$，所以$HD_1\bot A_1B_1FE$，所以平面$GHD_1\bot A_1B_1FE$，那么$D_1G$与$A_1B_1FE$所成的角等于$\angle D_1NM$。这样就实现了第一步化归，我们将问题转变为求$\angle D_1NM$。

由于$HG\parallel AB\parallel EF$，所以$HG\parallel A_1B_1FE$，于是$HG\parallel MN$，所以$\angle D_1NM=\angle D_1GH$，这样我们就实现了第二步化归，我们把问题化归到了解直角三角形$\triangle D_1HG$上，很容易算出$\tan \angle D_1GH=\frac{\sqrt{5}}{2}$。

例题4.3

例题：已知$x,y,z\in(0,1)$，求证：$x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1$。

分析：这是90年代在俄罗斯举办的一次数学竞赛的赛题，这道题可以使用纯粹的代数方法给出证明。但是解法相对抽象，思路不容易得到。如果能通过数形结合，将这个纯粹的代数题目化归成一个几何题目，就能实现由抽象向直观的转变。

有了这个想法以后，我们可以观察到：1在这个题目中作用很大，再加上题目中对称地出现了三个变量，所以我们可以考虑构造一个等边三角形解决问题。

作等边三角形$\triangle ABC$，使其边长为$1$。在三边$AB,BC,CA$上分别取点$D,E,F$，使得$AF=x，BD=y，CE=z$，那么

$$\begin{aligned}<br>S_{\triangle ADF}&=\frac{1}{2}x(1-y)\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{4}x(1-y)\\<br>S_{\triangle BED}&=\frac{1}{2}y(1-z)\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{4}y(1-z)\\<br>S_{\triangle CFE}&=\frac{1}{2}z(1-x)\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{4}z(1-x)<br>\end{aligned}$$

所以，一方面，

$$S_{\triangle ADF}+S_{\triangle BED}+S_{\triangle CFE}=\frac{\sqrt{3}}{4}[x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)]$$

另一方面，

$$S_{\triangle ADF}+S_{\triangle BED}+S_{\triangle CFE}<S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$

因此

$$x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.$$

例题4.4

例题：当$0<x<\frac{\pi}{2}$时，求函数$y=\frac{1+\cos ⁡2x+8 \sin^2⁡x}{\sin ⁡2x}$ 的最小值。

分析：所求函数表达式中，既有$x$的三角函数，又有$2x$的三角函数，没有实现标准化。所以对这个题的化归，其首要目的是将这种非标准形态向标准形态转变，即：将函数的表达式变形，使得其中的三角函数都统一为关于$x$的三角函数。

于是

$$y=\frac{1+\cos ⁡2x+8 \sin^2⁡x}{\sin ⁡2x}=\frac{2 \cos^2 ⁡𝑥+8 \sin^2⁡𝑥}{2\sin⁡ 𝑥\cos ⁡𝑥}$$

这样我们就完成了第一步的标准化。

但是这还不够，因为函数表达式中有两种三角函数，我们需要将其统一成一种三角函数，于是

$$y=\frac{2 \cos^2 ⁡𝑥+8 \sin^2⁡𝑥}{2\sin⁡ 𝑥\cos ⁡𝑥}=\frac{1+4 \tan^2 ⁡𝑥}{\tan ⁡𝑥}$$

这样我们就完成了第二步标准化，接下来就可以开始换元了。

令$t=\tan x$，因为$0<x<\frac{\pi}{2}$，所以$t>0$，并且$y=4t+\frac{1}{t}\ge2\sqrt{4t\cdot\frac{1}{t}}=4$，其中等号成立当且仅当$4t=1/t$，即$t=1/2$，也就是$x=\arctan \frac{1}{2}$时，函数取得最小值$4$。

五、特殊化和一般化的思想

5.1 特殊化

特殊化方法的含义是：把数学问题中所包含的数量、形状、位置关系等，加以简单化、具体化、边缘化，从而从特殊性质找到解题的一般方法。

特殊化方法有两种类型：

• 从简单问题入手，作为解决一般情况的突破口；

• 对特殊情况考察，为解决一般情况奠定基础。

特殊化思想的作用体现在：

• 可以将一个数学问题特殊化，从而得到另一个数学问题；

• 通过对特殊和个别对象进行分析可以寻找一般属性。

例题5.1

例题：过$\triangle ABC$的重心$G$作一条直线$l$，把$\triangle ABC$分成两部分，求证：这两部分的面积之差不大于$\triangle ABC$面积的$1/9$。

分析：因为直线$l$可能是经过$G$的任意直线，直接考虑任意直线可能是困难的，那么我们不妨从特殊情况入手，最特殊的情况显然是直线$l$平行于$BC$。我们可以先尝试处理这种特殊情况，进而获得解决一般问题的思路，这就是特殊化思想。

为了方便叙述，我们不妨设$S_{\triangle ABC}=9$，那么我们只需要证明被分割出的两部分面积之差小于等于1即可

情况1：$l\parallel BC$，设$l$与$\triangle ABC$交于$E,H$，如下图所示。

借助三角形相似和重心的性质，我们很容易算出：

$$S_{\triangle AEH}=4$$

所以$l$将$\triangle ABC$分成两部分的面积之差恰好等于$1$。

情况2：$l\not\parallel BC$，设$l$与$\triangle ABC$交于$M,N$，仍然设$EH\parallel BC$，如下图所示。

由情况1的论证可以知道，$S_{\triangle AEH}=4$。那么只要能证明$S_{\triangle AMN}\ge4$即可。而$\triangle AMN$比$\triangle AEH$多了一个三角形$\triangle MEG$，少了一个三角形$\triangle NHG$。所以这里只需要证明$S_{\triangle MEG}\le S_{\triangle NHG}$，这是很容易证明的。

例题5.2

例题：设$A,B,C,D$是直线$l$上四点，并且$B,C$在$A,D$之间，求证：对于直线$l$外任意一点$P$，总有$PA+PD>PB+PC-|AB-CD|$。

分析：如果$|AB-CD|=0$，那么求证的结论会大大简化，这就是我们需要的特殊化。也就是说，先考虑特殊情况$AB=CD$，再考虑一般情况$AB\ne CD$。

情况1 $AB=CD$，如图所示。将$\triangle PCD$平移得到$\triangle P'AB$使得$PC=P'A$，$PD=P'B$。记$PA$与$P'B$交点为$O$。

由于三角形两边和大于第三边，所以$PC=P'A<P'O+OA$且$PB<PO+OA$，二式求和可得$PB+PC<PA+P'B=PA+PD$。结论得证。

情况2 $AB\ne CD$，不妨设$AB>CD$，那么$AB$内存在一点$A'$使得$A'B=CD$，如下图所示。

由情况1的结论可知：$PB+PC<P'A+PD$。由三角形两边和大于第三边可知，

$$P'A<PA+AA'=PA+|AB-A'B|=PA+|AB-CD|$$

所以

$$PB+PC<PA'+PD<PA+|AB-CD|+PD,$$

问题得证。

这两个例题都是通过对特殊情况考察，为解决一般情况奠定基础。下面我们再看一个例题，它的解法要求从特殊化的简单问题入手，作为解决一般情况的突破口。

例题5.3

例题：设$m(x^3-3xy^2 )+y^3-3x^2 y=0$表示三条直线，求证这三条直线的倾角称等差数列。

分析：直观上看，这个方程是一个三次方程，而且只有三次项。面对这个方程，大多数同学的第一个疑问是：这个方程怎么能表示三个直线呢？为此我们首先看几个特殊情况。

情况1 $m=0$。此时方程变为$y(y-\sqrt{3}x)(y+\sqrt{3}x)=0$，这显然表示三条直线：

• $y=0$
• $y=\sqrt{3}x$
• $y=-\sqrt{3}x$

情况2 $m=1$。此时方程变为$(x+y)[x-(2+\sqrt{3})y][x-(2-\sqrt{3})y]=0$，这表示三条直线：

• $x+y=0$
• $x-(2+\sqrt{3})y=0$
• $x-(2-\sqrt{3})y=0$

通过$m=0$和$m=1$这两种特殊情况，我们可以搞清楚三件事情：

• 之所以三次方程能表示三条直线，是因为等式左边恰好能在实数域上分解为三个一次因式的乘积；
• 由于原方程只有三次项，所以三个一次因式都没有常数项；
• 三个一次因式中，$y$的系数都不是$0$，这是因为在原方程中$y^3$的系数不是$0$。

于是，因为$m(x^3-3xy^2 )+y^3-3x^2 y=0$表示三条直线，并且此方程只有三次项，$y^3$的系数不是零，我们可以设原方程可以等价变形为

$$(𝑦−𝑘_1 𝑥)(𝑦−𝑘_2 𝑥)(𝑦−𝑘_3 𝑥)=0$$

这样，通过对比系数，我们可以知道

$$(*)\left\{<br>\begin{aligned}<br>&𝑘_1+𝑘_2+𝑘_3=3𝑚\\<br>&𝑘_1 𝑘_2+𝑘_2 𝑘_3+𝑘_3 𝑘_1=−3\\<br>&𝑘_1 𝑘_2 𝑘_3=𝑚<br>\end{aligned}<br>\right.$$

我们将斜率为$k_1,k_2,k_3$的三条直线分别记作$l_1,l_2,l_3$。我们的目标是证明：这三条直线的倾角成等差数列。为此我们只需证明：其中一条直线恰好平分另外两条直线所成的角。也就是证明如下等式：

$$\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}=\frac{k_3-k_2}{1+k_2k_3}$$

而此式不难由$(*)$式得到。

5.2 一般化

与特殊化相反的过程就是一般化。一般化方法是指：在熟悉一般形式问题的前提下，将特殊形式的问题转化为一般形式的问题，从而在更大范围内讨论问题。

一般化思想的作用有两个方面：

• 求得更具有一般性的结论；

• 寻求解决一类问题的方法。

例题5.4

例题：求证：$50^{99}>99!$

分析：直接证明这个问题似乎无从下手，但是如果将其一般化，则很容易发现思路。我们将所求证的不等式一般化，也就是

$$(\frac{𝑛+1}{2})^𝑛>𝑛!$$

它等价于

$$\frac{1}{n}\frac{n(𝑛+1)}{2}>\sqrt[n]{𝑛!}$$

即

$$\frac{1+2+\cdots+n}{n}>\sqrt[n]{1\cdot2\cdot\cdots\cdot𝑛}$$

这是著名均值不等式，也就是算数平均数大于等于几何平均数，由于各项不可能相等，所以取不到等号。